复习一下斜率优化: 令 $f_{i}$ 表示从 1 考虑到 $i$ 的最优结果. 得 $f_{i}=min${ $f_{j}+(sum_{i}-sum_{j}+i-j-1-L)^{2}$} 如果直接枚举,是 $O(n^{2})$ 的,太慢了!!! 考虑斜率优化: 令 $k<j$,考虑什么时候 $j$ 比 $k$ 优: $fj+(sumi−sumj+i−j−1−L)^{2}<fk+(sumi−sumk+i−k−1−L)^{2}$ 令 $a_{i}=sum_{i}+i$ ,$b_{i}=sum_{i}+i+1+L$ (为了简化计算) 得: $f_{j}+(a_{i}-b_{j})^{2}<f_{k}+(a_{i}-b_{k})^{2}$ 化简一下,得:$\frac{f_{j}+b_{j}^{2}-(f_{k}+b_{k}^{2})}{b_{j}-b_{k}}<2\times a_{i}$ 令 $g[x]=f_{x}+b_{x}^{2}$ 上面式子为 $\frac{g_{j}-g_{k}}{b_{j}-b{k}}$,看上去是不是很熟悉 ? 这不就是一次函数斜率得形式嘛...... 可以把 $j,k$ 都看作二维平面上的点 $(b_{j},g_{j})$ 与 $(b_{k},g_{k})$ 那么, $j$ 的答案优于 $k$ 是在二者得斜率小于 $2\times a_{i}$ 的情况下成立的. 所以说,我们要求的 $j$ 就是编号最大的与前一个点的斜率小于 $2a_{i}$ 的值. 手画一下,发现这道题中我们要维护的其实就是一个下凸包. 根据我们每一次的斜率 $2\times a_{i}$,不难发现这个东西是单调递增的,所以当我们找到答案 $tmp$ 时,$tmp$ 前的所有点就都变成无用点,直接弹掉即可. 而每一次新加入一个点,就顺便维护凸包的形状,将不合法的点从队尾弹出即可.
#include#include using namespace std;const int maxn = 100000 + 123;long long s[maxn], f[maxn];int l, n, q[maxn];inline long long re_x(int i){ return s[i]; }inline long long re_y(int i){ return f[i] + (s[i] + l) * (s[i] + l); }inline double get_slope(int i,int j){return (double)(re_y(i) - re_y(j)) / (re_x(i) - re_x(j)); }int main(){ scanf("%d%d",&n,&l); for(int i = 1;i <= n; ++i) scanf("%lld",&s[i]), s[i] += s[i-1]; for(int i = 1;i <= n; ++i) s[i] += i; int head = 0, tail = 0; for(int i = 1;i <= n; ++i) { while(head < tail && get_slope(q[head], q[head + 1]) < 2 * s[i] ) ++ head; f[i] = f[q[head]] + (s[i] - s[q[head]] - 1 - l) * (s[i] - s[q[head]] - 1 - l); while(tail > head && get_slope(q[tail], i) < get_slope(i, q[tail - 1])) --tail; q[++tail] = i; } printf("%lld",f[n]); return 0;}